원점에서 판정경계까지의 거리

판별식이 아래와 같을 때, 

$$y\left(\mathbf{x}\right) = \mathbf{\omega}^{T}\mathbf{x} + \omega_{0}$$

판정경계(hyperplane)는 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.

거리 $l$은 원점에서 판정경계까지의 거리로 다음과 같이 정리 된다.

$$ l = \frac{\mathbf{\omega}^{T}\mathbf{x}}{\lVert \mathbf{\omega}\rVert} = - \frac{\omega_{0}}{\lVert \mathbf{\omega} \rVert } $$

이를 다시 풀어 정리해 보면, 아래 그림과 같이 벡터 $\mathbf{x}$는 벡터 $\omega$ 위로 정사영된 $proj_{\omega}^{\mathbf{x}}$와 $\mathbf{x}^{\perp}$의 합으로 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{x} = \mathbf{x}^{\perp} + proj_{\omega}^{\mathbf{x}}$$

한편 벡터 $\omega$와 $\mathbf{x}^{\perp}$는 수직이므로, $\omega \circ \mathbf{x}^{\perp} = 0$이다. 그결과 아래의 수식을 유도할 수 있다.

$$ \omega \circ \mathbf{x}^{\perp} = 0 $$

한편 $ \mathbf{x}^{\perp} = \mathbf{x} - proj_{\omega}^{\mathbf{x}} $ 이므로 위 수식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ \omega \circ \left( \mathbf{x} - proj_{\omega}^{\mathbf{x}} \right) = 0 $$

$$ \omega \circ \mathbf{x} - \omega \circ proj_{\omega}^{\mathbf{x}} = 0 $$

그리고 $ proj_{\omega}^{\mathbf{x}} = l \omega $ 이므로, 다시 풀어 쓰면 아래와 같이 되며, 이를 정리하면 $l$을 계산할 수 있다.

$$ \omega \circ \mathbf{x} - \omega \circ l \omega = 0 $$

$$ l = \frac{\omega \circ \mathbf{x}}{\omega \circ \omega} = \frac{\omega^{T} \mathbf{x}}{\lVert \omega \rVert}$$

마지막으로 $y\left(\mathbf{x}\right) = \mathbf{\omega}^{T}\mathbf{x} + \omega_{0}$ 이므로, $ \mathbf{\omega}^{T}\mathbf{x} = -\omega_{0} $이며, 이를 대입하면 최종수식이 계산된다.

$$ l = \frac{-\omega_{0}}{\lVert \omega \rVert} $$

참고로 위 수식에서 $\omega$의 경우, 벡터($\overrightarrow{\omega}$)로 표현되어야 하는데 \mathbf 명령이 잘 작동하지 않아서 일반 스칼라 변수 형태로 표시된 것이다.

※ 잘못된 부분이 있으면 알려주기 바람...